E-moteオフィシャルです！
大変良いご質問を有難う御座います！
「動き出すと追加パーツの前後が変わってしまう」という現象の原因ですが、
３つの可能性が考えられます。
【可能性１】
追加パーツのタイプに、「胴体連動回り込み」や「頭部連動回り込み」もしくは「胸揺れ」を使用されてはいないでしょうか？この３種類のパーツは、頭の動きや胴体の動きに同調して、パーツの前後関係を変化させる「回り込み調整」ができます。もしかしたら、気付かないうちにパーツの重ね順設定を変更してしまっているのかもしれません。
【可能性２】
横髪○○接着や、耳○○接着設定の追加パーツではありませんか？
これらのパーツは、可能性１と同様に基本設定で「回り込み調整」が可能です。
これらのパーツに接着設定したパーツは、同じように回り込み調整の影響をうけてしまいます。
【可能性３】
もしかしたら、psd側のレイヤー配置が影響して胴体と追加パーツとの重ね位置が曖昧になっているのかもしれません。不具合が起こる追加パーツのレイヤーを、少しオーバー目に上の重ね順に入れ替えて再インポートしてみてください。それで不具合が収まる可能性があります。
また、それでも駄目な場合は、追加パーツの「レイアウト」項目から、重ね順を直接手動で調整する方法があります。添付画像を参考に、不具合が収まるように追加パーツのＺ値を変更してみて下さい。
もし、上記の方法でも駄目な場合は、不具合の出ているmmoファイルを何らかのストレージサービスにてＵＰし、弊社サポートまでお送り下さい。
どうか情報収集にご協力頂ければ幸いです！
今後とも有限会社エムツー並びにえもふり・E-moteをどうぞ宜しくお願い申し上げます。